Cho dãy:S=1.2.3+2.3.4+...+k<k+1><k+2>
CMR:4S+1 là số chính phương.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TH
0
25 tháng 12 2021
Ta có \(k\left(k+1\right)\left(k+2\right)=\dfrac{1}{4}k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\cdot4\)
\(=\dfrac{1}{4}k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left[\left(k+3\right)-\left(k-1\right)\right]\\ =\dfrac{1}{4}k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)-\dfrac{1}{4}\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)
Từ đó ta được \(S=\dfrac{1}{4}\cdot1\cdot2\cdot3\cdot4-\dfrac{1}{4}\cdot0\cdot1\cdot2\cdot3+...+\dfrac{1}{4}\cdot9\cdot10\cdot11\cdot12-\dfrac{1}{4}\cdot8\cdot9\cdot10\cdot11\\ \Leftrightarrow S=\dfrac{1}{4}\cdot9\cdot10\cdot11\cdot12\\ \Leftrightarrow4S+1=9\cdot10\cdot11\cdot12+1=11881=109^2\left(đpcm\right)\)
NJ
2
DD
Đoàn Đức Hà
Giáo viên
25 tháng 12 2021
\(S=1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+9.10.11\)
\(4S=1.2.3.4+2.3.4.\left(5-1\right)+3.4.5.\left(6-2\right)+...+9.10.11.\left(12-8\right)\)
\(=1.2.3.4+2.3.4.5-1.2.3.4+3.4.5.6-2.3.4.5+...+9.10.11.12-8.9.10.11\)
\(=9.10.11.12\)
\(4S+1=9.10.11.12+1=\left(9.12\right).\left(10.11\right)+1=108.110+1\)
\(=\left(109-1\right)\left(109+1\right)+1=109^2-1+1=109^2\)
Ta có đpcm.
25 tháng 12 2021
Ta có \(k\left(k+1\right)\left(k+2\right)=\dfrac{1}{4}k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\cdot4\)
\(=\dfrac{1}{4}k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left[\left(k+3\right)-\left(k-1\right)\right]\\ =\dfrac{1}{4}k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)-\dfrac{1}{4}\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)
Từ đó ta được \(S=\dfrac{1}{4}\cdot1\cdot2\cdot3\cdot4-\dfrac{1}{4}\cdot0\cdot1\cdot2\cdot3+...+\dfrac{1}{4}\cdot9\cdot10\cdot11\cdot12-\dfrac{1}{4}\cdot8\cdot9\cdot10\cdot11\\ \Leftrightarrow S=\dfrac{1}{4}\cdot9\cdot10\cdot11\cdot12\\ \Leftrightarrow4S+1=9\cdot10\cdot11\cdot12+1=11881=109^2\left(đpcm\right)\)
WR
15 tháng 6 2015
S.4=1.2.3.4+2.3.4.4+...+k(k+1)(k+1).4
=1.2.3(4-0)+2.3.4.(5-1)+...+k(k+1)(k+2)(k+3-k-1)
=1.2.3.4-0+1.2.3.4-2.3.4.5+...+k(k+1)(k+2)(k+3)-(k-1)k(k+1)(k+2)
=(k-1)k(k+1)(k+2)
=>4S+1=(k-1)k(k+1)(k+2)+1
do (k-1)k(k+1)(k+2) là tích 4 số tự nhiên liên tiếp mà tích 4 số tự nhiên liên tiếp +1 luôn là số chính phương ( cái này bạn tự chứng minh )
=> 4S+1 là số chính phương (đpcm)
ML
13 tháng 3 2017
Ta có: k(k + 1)(k + 2) = 1/4. k(k + 1)(k + 2). 4
= 1/4. k(k + 1)(k + 2). [(k + 3) - (k - 1)]
= 1/4. k(k + 1)(k + 2)(k + 3) - 1/4. k(k + 1)(k + 2)(k - 1)
=> 4S = 1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + ... + k(k + 1)(k + 2)(k + 3) - k(k + 1)(k + 2)(k - 1)
= k(k + 1)(k + 2)(k + 3)
=> 4S + 1 = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + 1
Đây là tổng của 4 số liên tiếp cộng 1 nên luôn là số chính phương.
4 tháng 9 2018
Ta có: k(k + 1)(k + 2) = 1/4. k(k + 1)(k + 2). 4
= \(\frac{1}{4}\). k(k + 1)(k + 2). [(k + 3) - (k - 1)]
= \(\frac{1}{4}\). k(k + 1)(k + 2)(k + 3) - 1/4. k(k + 1)(k + 2)(k - 1)
=> 4S = 1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + ... + k(k + 1)(k + 2)(k + 3) - k(k + 1)(k + 2)(k - 1)
= k(k + 1)(k + 2)(k + 3)
=> 4S + 1 = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + 1
Đây là tổng của 4 số liên tiếp cộng 1 nên luôn là số chính phương.
S
3 tháng 12 2018
\(S=1.2.3+2.3.4+3.4.5+.....+8.9.10\)
\(\Rightarrow4S=1.2.3.4+2.3.4.\left(5-1\right)+.........+8.9.10.\left(11-7\right)\)
\(\Rightarrow4S=8.9.10.11=7920\Rightarrow4S+1=7921=89^2\left(ĐPCM\right)\)
3 tháng 12 2018
Ta có:
4S = 1 . 2 . 3 . 4 + 2 . 3 . 4 . (5 - 1) + 3 . 4 . 5 . (6 - 2) + ... + 7 . 8 . 9 . (10 - 6) + 8 . 9 . 10 . (11 - 7)
4S = 1 . 2 . 3 . 4 + 2 . 3 . 4 . 5 - 1 . 2 . 3 . 4 + 3 . 4 . 5 . 6 - 2 . 3 . 4 . 5 + ... + 7 . 8 . 9 . 10 - 6 . 7 . 8 . 9 + 8 . 9 . 10 . 11 - 7 . 8 . 9 . 10
4S = 8 . 9 . 10 . 11 = 7920
4S + 1 = 7921 = 892
Vậy 4S + 1 là scp
KK
1
YA
18 tháng 11 2016
Ta có : \(k\left(k+1\right)\left(k+2\right)=\frac{1}{4}k\left(k+1\right)\left(k+2\right).4\)
\(=\frac{1}{4}k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left[\left(k+3\right)-\left(k-1\right)\right]\)
\(=\frac{1}{4}k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)-\frac{1}{4}k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k-1\right)\)
=> 4S = 1.2.3.4-0.1.2.3+2.3.4.5-1.2.3.4+...+k(k+1)(k+2)(k+3)-k(k+1)(k+2)(k-1)
\(=k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)\)
=> \(4S+1=k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)+1\)
\(=\left[k\left(k+3\right)\right]\left[\left(k+1\right)\left(k+2\right)\right]+1\)
\(=\left[\left(k^2+3k\right)\left(k^2+k+2k+2\right)\right]+1\)
Đặt \(t=k^2+3k\)
\(=>4S+1=t\left(t+2\right)+1\)
= \(t^2+2t+1\)
\(=\left(t+1\right)^2\)
\(=>4S+1=\left(k^2=3k\right)^2=>4S+1\) là số chính phương
NT
0
22 tháng 3 2016
Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ... + 49.50.51
4S = 1.2.3.4 +2.3.4.4+3.4.5.4+....+49.50.51.4
=2.3.4.(1+4)+3.4.5.4+....+49.50.51.4
=3.4.5.(2+4)+......+49.50.51.4
=.....
=49.50.51.52
= 2.2.2.3.5.5.7.7.13.17
= 6497400
Mà V649740 = 2548.999804
=> 4S + n = 2549^2
=> 6497400 + n = 6497401
=> n = 6497401 - 6497400
=> n = 1
Vạy: n = 1 (thấy đúng thì !)